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Problème du losange

Étape 1 / 3 Résoudre le problème du losange

Remplissez exactement deux des quatre cases et laissez les deux autres vides. Remplissez exactement deux cases et laissez les deux autres vides.

Suite : type de réponse

Un problème du losange demande de trouver deux nombres dont on connaît la façon de se combiner : leur produit est en haut du losange, leur somme en bas, et les deux nombres eux-mêmes à gauche et à droite. Renseignez deux des quatre valeurs et ce solveur trouve les deux autres, dessine le losange complet et vérifie la réponse. C'est l'échauffement classique avant de factoriser un trinôme comme x² + 7x + 12, où il faut deux nombres dont le produit vaut 12 et la somme 7.

Comment résoudre un problème du losange

  1. 1

    Saisissez exactement deux valeurs

    Remplissez deux des champs facteur a, facteur b, produit et somme, et laissez les deux autres vides. Les nombres négatifs et décimaux sont acceptés.

  2. 2

    Choisissez le type de réponse

    Optez pour des nombres quelconques ou pour des nombres entiers uniquement. Le mode entiers correspond aux exercices des manuels et vous signale quand aucun entier ne convient.

  3. 3

    Lisez le losange

    Le résultat affiche a et b, le produit et la somme dans un losange, avec une vérification : a + b donne la somme et a × b donne le produit.

Comment les valeurs manquantes sont trouvées

Tout losange obéit à deux règles : a + b = somme et a × b = produit. Les deux valeurs que vous connaissez déterminent la méthode.

Vous connaissez Le solveur calcule
a et b produit = a × b, somme = a + b
a et le produit b = produit ÷ a, puis la somme (a ne peut pas valoir 0)
b et le produit a = produit ÷ b, puis la somme (b ne peut pas valoir 0)
a et la somme b = somme − a, puis le produit
b et la somme a = somme − b, puis le produit
le produit et la somme résoudre x² − (somme)x + produit = 0

Produit et somme : le cas difficile

Quand seuls le produit et la somme sont connus, a et b sont les deux racines de l’équation du second degré x² − (somme)x + produit = 0. Le discriminant somme² − 4 × produit indique ce qui se passe :

  • Positif et carré parfait (7² − 4 × 12 = 1) : deux réponses entières, ici 3 et 4.
  • Positif mais pas un carré parfait (3² − 4 × 1 = 5) : deux réponses réelles qui ne sont pas entières, ici environ 0,382 et 2,618. En mode entiers, le solveur indique qu’aucun entier ne convient.
  • Nul (2² − 4 × 1 = 0) : une racine double, les deux nombres sont égaux (1 et 1).
  • Négatif (2² − 4 × 10 = −36) : il n’existe aucun couple réel. Les nombres forment un couple de complexes conjugués, ici 1 + 3i et 1 − 3i, et le solveur le dit au lieu d’échouer.

Exemples résolus

  • Produit 12, somme 7 : a = 3, b = 4.
  • Produit −12, somme 1 : a = −3, b = 4.
  • a = 4, produit −20 : b = −5, somme −1.
  • Produit 6, somme 5 en mode entiers : a = 2, b = 3.

Utiliser le losange pour factoriser

Pour x² + 7x + 12, placez 12 (le terme constant, multiplié par le coefficient de x²) en haut et 7 en bas. Les valeurs de gauche et de droite, 3 et 4, donnent les facteurs (x + 3)(x + 4). Quand le coefficient de x² n’est pas 1, placez en haut le produit de ce coefficient par le terme constant, puis servez-vous des deux nombres pour décomposer le terme du milieu.

Questions fréquentes

C’est un casse-tête dessiné sous la forme d’un losange divisé en quatre parties. Le haut contient le produit de deux nombres, le bas leur somme, la gauche et la droite les nombres eux-mêmes. On donne deux parties et il faut trouver les deux autres. Les enseignants s’en servent pour préparer les élèves à la factorisation des trinômes.

Quand le carré de la somme est inférieur à quatre fois le produit, le discriminant est négatif et aucun nombre réel n’a pour somme la vôtre et pour produit le vôtre. Les deux nombres sont alors complexes : le solveur les affiche comme un couple de conjugués, par exemple 1 + 3i et 1 − 3i, qui vérifient bien la somme et le produit.

Elle limite la réponse aux entiers, comme dans la plupart des exercices de manuel. Si la solution réelle contient une fraction ou un nombre irrationnel, le solveur vous dit qu’aucun couple d’entiers ne convient et affiche tout de même la réponse réelle pour que vous en voyiez la raison.

Parce que l’autre facteur serait le produit divisé par 0. Si le produit n’est pas nul, un tel nombre n’existe pas, et s’il est nul, tous les nombres conviennent : la réponse n’est donc pas unique. Un facteur égal à 0 avec une somme ne pose pas de problème : l’autre facteur est la somme et le produit vaut 0.

Non. Les valeurs saisies sont envoyées à notre serveur pour calculer le résultat et ajoutées au lien de la page quand vous passez d’une étape à l’autre, afin de pouvoir mettre un problème en favori ou le partager. Elles ne sont enregistrées dans aucun compte ni profil.

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