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Calculateur de la méthode d’Euler

Étape 1 / 3 Approximation par la méthode d’Euler

Saisissez l’équation et le point initial

Pour dy/dx = f(x,y), saisissez uniquement f(x,y). Utilisez * pour multiplier et ^ pour les puissances. Fonctions acceptées : sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. Mettez les arguments entre parenthèses. Dans l’équation, séparez les décimales par un point.

Suivant

Approchez la solution d’un problème à valeur initiale du premier ordre de la forme dy/dx = f(x,y), où y est connu pour un x initial. Saisissez le membre de droite de l’équation, le point initial, un pas positif et le x cible. Le calculateur applique la méthode d’Euler explicite jusqu’à la cible et affiche toutes les valeurs intermédiaires. Le résultat est une approximation numérique, pas une solution exacte.

Comment utiliser la méthode d’Euler

  1. 1

    Saisissez l’équation différentielle

    Pour dy/dx = x + y, saisissez x + y comme f(x,y). Indiquez ensuite les coordonnées x et y du point initial connu.

  2. 2

    Définissez l’intervalle

    Saisissez un pas positif h et un x cible. Le calculateur peut avancer vers des x plus grands ou plus petits.

  3. 3

    Lisez l’approximation

    Consultez l’estimation de y à la cible et le tableau des x, y, pentes et pas effectués, dans la limite de 200 étapes.

Ce que calcule l’outil

À partir de (x₀, y₀), la méthode d’Euler explicite répète yₙ₊₁ = yₙ + hₙ f(xₙ, yₙ) et xₙ₊₁ = xₙ + hₙ. Chaque pente est calculée au début du pas. Le pas saisi est positif et représente une longueur maximale ; le calculateur lui donne le signe adapté si la cible est à gauche du point initial. Si la distance restante est plus courte que le pas choisi, le dernier pas est raccourci pour atteindre exactement le x cible.

Pour dy/dx = x + y, y(0) = 1, h = 0,1 et le x cible 0,3 :

Étape x y approximatif Pente utilisée pour le pas suivant
0 0 1 1
1 0,1 1,1 1,2
2 0,2 1,22 1,42
3 0,3 1,362 Fin

Dans le tableau du calculateur, la pente utilisée pour une mise à jour apparaît sur la ligne obtenue après cette mise à jour, sous « Pente précédente ». La pente 1,42 figure donc à l’étape 3. La solution exacte de cet exemple est y = 2eˣ - x - 1, soit environ 1,3997 pour x = 0,3. Le résultat d’Euler, 1,362, est plus faible car chaque mise à jour suit la tangente au début du pas. Un pas h plus petit réduit généralement l’erreur pour un problème régulier, mais celle-ci dépend de l’équation et de l’intervalle. L’outil n’estime pas de borne d’erreur.

Écrivez les multiplications explicitement : 2*x, x*y ou 2*sin(x). L’expression accepte x, y, les parenthèses, +, -, *, /, ^, les constantes pi et e et les fonctions sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. Utilisez un point pour les constantes décimales dans l’expression, par exemple 0.5*y. Dans les champs numériques séparés, utilisez votre séparateur décimal local ou un point non ambigu, sans séparateur de milliers.

La méthode d’Euler et sa récurrence sont décrites dans OpenStax Calculus Volume 2. Le chapitre de LibreTexts sur les méthodes numériques explique l’effet du pas sur l’erreur d’approximation.

Questions fréquentes

Saisissez un pas positif. Si le x cible est inférieur au x initial, le calculateur avance automatiquement vers les x décroissants. Le tableau affiche le pas signé réellement effectué.

Le dernier pas est réduit à la distance restante. Par exemple, avec h = 0,4 de x = 0 à x = 1, les pas sont 0,4, 0,4 et 0,2 ; le calcul se termine à x = 1.

Non. La méthode d’Euler explicite suit les pentes des tangentes locales et accumule une erreur d’approximation. La valeur indiquée est une estimation au x cible, pas une solution symbolique exacte ni une garantie sur l’erreur.

L’outil traite les équations du premier ordre écrites explicitement sous la forme dy/dx = f(x,y), avec une valeur initiale connue pour y. Il ne résout ni les équations d’ordre supérieur, ni les systèmes, ni les équations implicites ou indéfinies sur le trajet demandé.

Cette limite garde le tableau lisible et évite un calcul trop long dans le navigateur. Augmentez h ou rapprochez la cible si l’intervalle exige davantage d’étapes.

Oui. Le fichier CSV contient les valeurs numériques x et y non arrondies, la pente utilisée pour atteindre chaque ligne et le pas signé correspondant. Le tableau à l’écran arrondit les valeurs pour faciliter la lecture.

Le calcul s’effectue dans votre navigateur. Dans le parcours par étapes, les données sont conservées uniquement dans cet onglet et l’URL contient un identifiant aléatoire plutôt que l’équation ou les valeurs.

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