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Calculateur de PPCM

Étape 1 / 2 Plus petit commun multiple (PCM)
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Le plus petit commun multiple (PPCM) d’un ensemble d’entiers est le plus petit entier positif que chaque nombre de l’ensemble divise. C’est l’unité de temps pour synchroniser des événements répétitifs, le dénominateur commun lors de l’addition de fractions, et la longueur du cycle lors de la planification des tâches. Tapez n’importe quelle liste d’entiers positifs séparés par des virgules et le calculateur renvoie le PPCM ainsi que les travaux de factorisation première.

Comment calculer le PPCM

  1. 1

    Entrez des entiers

    Séparez les valeurs par des virgules ou des espaces, par ex. 12, 18, 30.

  2. 2

    Voir les factorisations premières

    Chaque nombre est décomposé en ses puissances premières (2^2·3, 2·3^2, 2·3·5).

  3. 3

    Prenez la puissance première maximale

    Pour chaque premier, conservez l'exposant le plus élevé qui apparaît.

  4. 4

    Multipliez les maxima

    Le produit de ces puissances maximales est le PPCM (ici : 2^2·3^2·5 = 180).

PPCM par formule et par factorisation

Pour deux entiers, il existe une identité compacte utilisant le plus grand commun diviseur :

ppcm(a, b) = |a × b| / pgcd(a, b)

Pour trois ou plus, appliquez-la de manière itérative : ppcm(a, b, c) = ppcm(ppcm(a, b), c). Les deux approches donnent la même réponse ; la factorisation est plus facile à expliquer, la méthode PGCD est plus rapide pour de grandes entrées.

Exemple travaillé

Trouvez ppcm(12, 18, 30) :

  • 12 = 2² × 3
  • 18 = 2 × 3²
  • 30 = 2 × 3 × 5

Prenez la puissance la plus élevée de chaque premier : 2² (de 12), 3² (de 18), 5¹ (de 30).

PPCM = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180.

Où le PPCM apparaît

Situation Ce que signifie le PPCM
Ajouter 1/12 + 1/18 Dénominateur commun (36)
Rapports de transmission répétitifs Nombre de dents jusqu’à alignement
Tâches cron toutes les 15, 20, 30 min Quand elles se déclenchent toutes ensemble (60 m)
Horaires de bus à un arrêt partagé Temps entre “tous les trois en même temps”
Polyrhythmes musicaux (3 vs 4 vs 7) Mesures jusqu’à ce que la phrase se réinitialise (84)

Cas particuliers

  • PPCM avec zéro est 0 par convention, tout multiplié par zéro est zéro, donc le plus petit multiple partagé avec 0 est 0 lui-même.
  • PPCM avec des négatifs utilise la valeur absolue ; le résultat est toujours non négatif.
  • PPCM d’un seul nombre est ce nombre.
  • Entrées coprimes (pgcd = 1) signifient ppcm = a × b ; par exemple ppcm(7, 11) = 77.

Questions fréquentes

PGCD (plus grand commun diviseur) est le plus grand entier qui divise chaque entrée ; PPCM est le plus petit entier que chaque entrée divise. Pour toute paire, a × b = pgcd(a, b) × ppcm(a, b), les deux sont duals.

Au moins aussi grand que la plus grande entrée, et égal à celle-ci lorsque l’un des nombres divise tous les autres. ppcm(3, 6, 12) = 12 car 12 est déjà un multiple de 3 et 6.

Pour ajouter des fractions, vous avez besoin d’un dénominateur commun. Le PPCM donne le plus petit tel dénominateur, ce qui garde l’arithmétique intermédiaire propre. Pour 1/4 + 5/6, le PPCM est 12 : 3/12 + 10/12 = 13/12.

Non, la factorisation s’exécute dans votre navigateur, et les entrées ne sont jamais envoyées nulle part.

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