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Calculatrice de Matrices

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Entrez une ou deux matrices de n’importe quelle dimension et la calculatrice effectue l’opération que vous choisissez, addition, soustraction, multiplication scalaire ou matricielle, transposition, inverse, déterminant, rang, trace, et montre le travail intermédiaire là où cela compte. Utile pour les devoirs d’algèbre linéaire, les vérifications d’ingénierie, les transformations en infographie et chaque fois que vous ne voulez pas réduire les lignes manuellement sur une calculatrice avec de petits boutons.

Comment effectuer des calculs sur des matrices

  1. 1

    Définir les dimensions

    Lignes et colonnes pour la matrice A (et B si l'opération nécessite un second opérande).

  2. 2

    Entrer les valeurs

    Cliquez dans chaque cellule. Les décimales, les négatifs et les fractions (`1/3`) sont acceptés.

  3. 3

    Choisir l'opération

    A+B, A−B, AB, kA, A^T, A^−1, det(A), rang, trace.

  4. 4

    Lire le résultat et les étapes

    Matrice de sortie plus la formule utilisée et toutes les opérations de ligne intermédiaires.

Opérations et leurs règles de dimension

Opération Règle Dimensions du résultat
A + B Mêmes dimensions m×n
A − B Mêmes dimensions m×n
k · A Toute A même que A
A · B colonnes(A) = lignes(B) lignes(A)×colonnes(B)
A^T (transposée) Toute A n×m
A^−1 (inverse) A est carrée et det(A) ≠ 0 n×n
det(A) A est carrée scalaire
rang(A) Toute A scalaire
trace(A) A est carrée scalaire

Pourquoi la multiplication matricielle n’est pas commutative

Pour des matrices générales A et B, AB ≠ BA même lorsque les deux produits sont définis. Chaque entrée de AB est un produit scalaire d’une ligne de A avec une colonne de B ; échanger l’ordre modifie les lignes et colonnes. Les matrices commutatives sont l’exception (multiples de l’identité, matrices diagonales avec des entrées distinctes, certaines rotations partageant un axe).

Test rapide d’inversibilité

  • Une matrice carrée est inversible si et seulement si det(A) ≠ 0.
  • Inversible ⇔ rang complet ⇔ colonnes linéairement indépendantes ⇔ espace nul trivial.
  • Pour une 2×2 : A^−1 = 1/det(A) · [[d, −b], [−c, a]].
  • Pour des matrices plus grandes, l’élimination de Gauss-Jordan (augmenter avec I, réduire les lignes à [I | A^−1]) est ce que la calculatrice utilise.

Pièges courants

  • Incompatibilités de dimension. L’erreur la plus courante. La calculatrice signale ces erreurs tôt et vous indique exactement quelles dimensions ne s’accordent pas.
  • Arrondi dans l’inverse. L’arithmétique en double précision accumule de petites erreurs. Une matrice qui est presque singulière (déterminant proche de zéro) produit un inverse qui est très inexact. Vérifiez le nombre de condition si la précision est importante.
  • Fractions non entières. Entrez 1/3 et la calculatrice le garde exact lorsque c’est possible ; elle revient aux flottants une fois que l’opération introduit des nombres irrationnels.

Utilisations en dehors des devoirs

  • Infographie : matrices de transformation 4×4 pour la translation, la rotation, le redimensionnement en 3D.
  • Physique : tenseurs de contrainte et d’inertie.
  • Apprentissage automatique : matrices de poids dans des couches denses ; matrices de covariance ; ACP.
  • Réseaux et modèles de Markov : matrices de transition et leurs puissances.
  • Économie : modèles d’entrée-sortie (Leontief).

Questions fréquentes

Des centaines de lignes et de colonnes fonctionnent mais deviennent lentes pour les opérations avec une complexité O(n³) (multiplication, inverse, déterminant). Au-delà de ~500×500, utilisez une bibliothèque numérique (NumPy, Octave) avec des routines soutenues par BLAS.

Pour des opérations simples (addition, soustraction, multiplication scalaire, transposition), oui. Pour l’inverse et le déterminant, la calculatrice peut soit rester rationnelle (lente pour de grandes matrices) soit utiliser des flottants en double précision (rapide mais avec arrondi). Vous pouvez changer le mode.

Élimination de Gauss-Jordan : augmenter A avec l’identité, réduire les lignes à la forme échelonnée réduite. Si la moitié gauche devient I, la moitié droite est A^−1 ; sinon, A est singulière et n’a pas d’inverse.

Non, cette calculatrice est uniquement pour les réels. Pour les matrices complexes, utilisez un outil dédié aux matrices complexes.

Non. Tous les calculs se font dans votre navigateur.

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