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Calculateur de loi normale

Étape 1 / 3 Probabilité
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Donnez au calculateur une moyenne, un écart type et soit une valeur brute, soit une probabilité : il renvoie le score z, l’aire sous la courbe (probabilité cumulée) et le percentile correspondant. Il traite les probabilités unilatérales à gauche, à droite et bilatérales, c’est-à-dire tout ce dont une feuille d’exercices de statistiques de première année ou un rapport de contrôle qualité a généralement besoin.

Comment calculer les probabilités d'une loi normale

  1. 1

    Saisissez la moyenne et l'écart type

    Pour la loi normale centrée réduite, utilisez une moyenne de 0 et un écart type de 1. Pour le QI, utilisez une moyenne de 100 et un écart type de 15.

  2. 2

    Choisissez le type de problème

    P(X < x), P(X > x), P(a < X < b), ou déterminez x à partir d'une probabilité donnée.

  3. 3

    Saisissez la valeur ou la probabilité

    Soit un nombre brut de la distribution, soit une probabilité de queue comme 0,05.

  4. 4

    Lisez le score z et la probabilité

    L'outil affiche le score z, la probabilité cumulée et le percentile.

Les formules

Le score z standardise n’importe quelle valeur :

z = (x − μ) / σ

La fonction de répartition Φ(z) donne la probabilité qu’une variable normale centrée réduite soit inférieure à z. Comme Φ n’admet pas de forme close, les calculateurs utilisent des approximations numériques (la plus courante étant le polynôme rationnel d’Abramowitz et Stegun, précis à sept décimales).

Règle empirique (68-95-99,7)

Intervalle Probabilité
μ ± 1σ 68,27 %
μ ± 2σ 95,45 %
μ ± 3σ 99,73 %
μ ± 1,96σ (intervalle de confiance classique à 95 %) 95,00 %
μ ± 2,576σ (intervalle de confiance à 99 %) 99,00 %

Valeurs critiques de z courantes

  • Unilatéral, α = 0,05 : z = 1,645
  • Bilatéral, α = 0,05 : z = ±1,96
  • Bilatéral, α = 0,01 : z = ±2,576
  • Bilatéral, α = 0,001 : z = ±3,291

Conseils d’interprétation rapides

  • Un z positif signifie au-dessus de la moyenne ; un z négatif, en dessous.
  • |z| > 2 est déjà un territoire rare : environ 5 % de la distribution.
  • |z| > 3 est très rare, environ 0,3 %, et sert souvent de seuil de valeur aberrante dans l’industrie.
  • Le percentile vaut Φ(z) × 100. Un z de 1,0 correspond au 84e percentile.

Où on la rencontre

La notation des tests standardisés (SAT, QI), le contrôle qualité (six sigma), les modèles de risque financier (la VaR suppose la normalité, souvent à tort) et d’innombrables tests d’hypothèses en sciences expérimentales reposent tous sur les probabilités de la loi normale.

Questions fréquentes

À cause du théorème central limite. Les sommes et les moyennes de nombreuses variables aléatoires indépendantes tendent vers une loi normale, quelles que soient les lois sous-jacentes. La loi normale devient donc une bonne approximation des moyennes d’échantillons pour beaucoup de processus réels.

Rarement de façon exacte, souvent de façon approchée. Les tailles humaines, les erreurs de mesure et les scores de QI sont proches de la normale. Les rendements financiers, les temps d’attente et beaucoup de comptages naturels ne le sont pas : ils ont des queues plus lourdes ou sont asymétriques. Tracez toujours vos données avant de supposer quoi que ce soit.

C’est “à combien d’écarts types de la moyenne se situe cette valeur”. Un z de +2 signifie “deux écarts types au-dessus de la moyenne”, ce qui place la valeur autour du 97,7e percentile si la distribution est normale.

Le calculateur utilise une approximation numérique précise à environ sept décimales pour |z| < 6. Au-delà, les probabilités sont si petites que les flottants en double précision arrivent à court de précision ; utilisez un logiciel à précision arbitraire pour travailler très loin dans les queues.

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