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Calculateur de produit scalaire

Étape 1 / 3 Produit scalaire
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Le produit scalaire réduit deux vecteurs en un seul scalaire qui encode à quel point ils pointent dans la même direction. Il alimente la similarité cosinus pour le classement de recherche, la projection pour la physique, et chaque calcul d’éclairage en infographie. Cet outil calcule un produit scalaire pour deux vecteurs de dimension correspondante (2D, 3D, N-D) et affiche le cosinus de l’angle entre eux.

Comment calculer un produit scalaire

  1. 1

    Entrez les deux vecteurs

    Tapez les composantes séparées par des virgules ou des espaces : `3, 4, 5` pour un vecteur et `1, 2, 1` pour l'autre.

  2. 2

    Faire correspondre les dimensions

    Les vecteurs doivent avoir la même longueur. L'outil signale les incompatibilités avant de calculer.

  3. 3

    Voir le résultat

    Le produit scalaire est affiché avec le cosinus de l'angle (cos θ) et l'angle lui-même en degrés.

Les deux formules

Forme par composantes pour les vecteurs a = (a1, a2, ..., an) et b = (b1, b2, ..., bn) :

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

Forme géométrique :

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

Les deux expressions sont égales ; les égaler vous donne cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|), la formule de similarité cosinus.

Ce que le signe vous dit

Produit scalaire Signification
Positif Les vecteurs pointent à peu près dans la même direction (angle < 90)
Zéro Les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires)
Négatif Les vecteurs pointent à peu près dans des directions opposées (angle > 90)

Exemple résolu

a = (3, 4), b = (1, 2) :

  • Composantes : 31 + 42 = 3 + 8 = 11
  • |a| = sqrt(9 + 16) = 5
  • |b| = sqrt(1 + 4) = sqrt(5) ~ 2.236
  • cos(theta) = 11 / (5 * 2.236) = 0.9839
  • theta = arccos(0.9839) ~ 10.3 degrés

Les vecteurs pointent presque dans la même direction, d’où le grand produit scalaire positif.

Applications courantes

  • Similarité cosinus pour les systèmes de recommandation : à quel point deux vecteurs d’embedding sont-ils similaires ?
  • Projection d’un vecteur sur un autre : proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b.
  • Travail en physique : W = F . d, produit scalaire de la force et du déplacement.
  • Éclairage graphique : le produit scalaire de la normale à la surface et de la direction de la lumière donne la luminosité diffuse (loi de Lambert).
  • Vérification d’orthogonalité : vérifiez rapidement si deux vecteurs de base sont perpendiculaires.

Conseils

  • Normalisez avant de comparer. Si vous vous souciez uniquement de la direction (similarité), divisez chaque vecteur par sa magnitude d’abord ; alors le produit scalaire équivaut directement au cosinus.
  • Attention à la dimension. Le produit scalaire d’un vecteur de dimension 3 avec un vecteur de dimension 4 n’est pas défini ; complétez ou tronquez délibérément, pas accidentellement.
  • Stabilité numérique. Pour des vecteurs très grands, l’accumulation en virgule flottante peut perdre de la précision ; utilisez la double précision ou la somme de Kahan lorsque la dimension dépasse quelques milliers.

Questions fréquentes

Le produit scalaire retourne un scalaire, mesure “à quel point” deux vecteurs sont parallèles. Le produit vectoriel (défini uniquement en 3D et 7D) retourne un vecteur perpendiculaire aux deux, mesure “à quel point” ils sont perpendiculaires. Ils répondent à des questions opposées.

Oui, pour n’importe quelle dimension N. La définition par composantes s’étend directement ; elle est utilisée tous les jours en apprentissage automatique avec des vecteurs de centaines ou milliers de dimensions.

Parce que la forme géométrique |a| |b| cos(theta) est nulle lorsque cos est nul, ce qui se produit à 90 et 270 degrés. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux précisément lorsque leur produit scalaire est nul.

Les composantes des vecteurs que vous saisissez sont envoyées à notre serveur, car le calcul s’y déroule. Elles ne sont pas stockées ni associées à votre compte.

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