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Calculateur de Fibonacci

Étape 1 / 3 Nième nombre de Fibonacci
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Choisissez combien de termes vous voulez (de 1 à 200) et ce calculateur de Fibonacci construit la suite F(1), F(2), F(3)… où chaque nombre est la somme des deux précédents. Il indique le n-ième nombre de Fibonacci, la somme cumulée de toute la suite et le rapport des deux derniers termes, qui converge vers le nombre d’or. Chaque valeur est calculée en arithmétique exacte sur grands entiers, si bien que même le 200e terme, un nombre de 42 chiffres, est renvoyé sans erreur d’arrondi.

Comment fonctionne le calculateur

  1. 1

    Saisissez le nombre de termes

    Indiquez combien de nombres de Fibonacci il vous faut, de 1 à 200.

  2. 2

    Choisissez un mode

    Affichez la suite, limitée aux 100 premiers termes, ou seulement le n-ième terme si seule la valeur finale vous intéresse.

  3. 3

    Lisez les résultats

    Consultez le n-ième nombre de Fibonacci, la somme de tous les termes et l'approximation du nombre d'or, le tout exact.

La formule de Fibonacci

La suite de Fibonacci se définit par une récurrence simple :

F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)   pour n > 2

Chaque terme est la somme des deux précédents. Ce calculateur adopte la convention F(1) = 1, F(2) = 1, si bien que la suite commence par 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Un exemple détaillé

Pour trouver F(10), additionnez de proche en proche, terme après terme :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Donc F(10) = 55. La somme de ces dix termes vaut 143, et le rapport des deux derniers, 55 / 34 ≈ 1,6176, est déjà proche du nombre d’or φ ≈ 1,6180339887.

Suite, somme et nombre d’or

n F(n) Somme de F(1)..F(n) F(n) / F(n-1)
5 5 12 1,6667
10 55 143 1,6176
15 610 1596 1,6181
20 6765 17710 1,6180

Une jolie identité : la somme des n premiers nombres de Fibonacci est égale à F(n+2) − 1. Pour n = 10, cela donne F(12) − 1 = 144 − 1 = 143, ce qui correspond au tableau.

Pièges fréquents

  • L’indexation diffère. Certains manuels commencent à F(0) = 0. Cet outil utilise F(1) = 1, F(2) = 1 ; décalez donc l’indice d’un rang si vous comparez avec un tableau fondé sur F(0).
  • Débordement en virgule flottante. Calculer de grands nombres de Fibonacci avec des flottants ordinaires fait perdre en précision au-delà de F(78) environ. Ce calculateur utilise une arithmétique exacte sur grands entiers, si bien que F(200) (un nombre à 42 chiffres) est renvoyé en entier.
  • Le nombre d’or est une limite, pas une égalité. F(n) / F(n-1) ne fait qu’approcher φ ; il n’est jamais exactement égal pour un n fini. Pour de petites valeurs de n, l’écart est nettement visible.

Questions fréquentes

Une série de nombres où chaque terme est la somme des deux précédents, commençant par 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… On la retrouve partout en mathématiques et dans la nature, de la disposition des feuilles aux coquilles en spirale.

Par la récurrence F(n) = F(n-1) + F(n-2). Cet outil additionne les termes de façon itérative en arithmétique exacte sur grands entiers, si bien que même F(200) est calculé sans arrondi.

À mesure que n grandit, F(n) / F(n-1) converge vers le nombre d’or φ ≈ 1,6180339887, une propriété fondamentale de la suite démontrée à partir de sa forme close (la formule de Binet).

Rien de ce que vous saisissez n’est enregistré ni partagé. Le nombre est envoyé à nos serveurs uniquement pour calculer les résultats et, dans le parcours pas à pas, il figure aussi dans l’adresse de la page entre les étapes. Il ne sert à rien d’autre.

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