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Calculateur de produit vectoriel

Étape 1 / 3 Produit vectoriel (A × B)
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Le produit vectoriel de deux vecteurs 3D donne un troisième vecteur perpendiculaire aux deux. Sa longueur est égale à l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs, et sa direction suit la règle de la main droite. Il est ainsi indispensable pour les normales de surface en graphisme 3D, pour le moment de force et le moment cinétique en physique, et pour toute géométrie nécessitant une direction perpendiculaire. Saisissez les composantes des vecteurs A et B et cet outil vous renvoie A × B sous la forme (x, y, z) accompagné de sa norme, avec un résultat qui se met à jour pendant la saisie.

Comment calculer un produit vectoriel

  1. 1

    Saisissez le vecteur A

    Tapez les trois composantes ax, ay et az du premier vecteur.

  2. 2

    Saisissez le vecteur B

    Tapez les trois composantes bx, by et bz du deuxième vecteur.

  3. 3

    Lisez le résultat

    Le vecteur perpendiculaire A × B s'affiche sous la forme (x, y, z), accompagné de sa norme.

La formule

Pour les vecteurs A = (ax, ay, az) et B = (bx, by, bz), le produit vectoriel est :

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

Chaque composante est un déterminant 2×2 des deux autres axes, le signe du terme central étant inversé. Un bon moyen mnémotechnique est le développement du déterminant selon les vecteurs unitaires i, j, k.

Exemple résolu

Prenons A = (1, 2, 3) et B = (4, 5, 6) :

  • x : ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
  • y : az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
  • z : ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

On obtient donc A × B = (−3, 6, −3). Sa norme vaut √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7,348. Vous pouvez vérifier que le résultat est perpendiculaire : A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓

Propriétés clés

Propriété Énoncé
Anticommutatif A × B = −(B × A)
Vecteurs parallèles A × A = 0 (toute paire parallèle donne 0)
Norme |A × B| = |A| · |B| · sin(θ)
Perpendiculaire (A × B) ⊥ A et (A × B) ⊥ B
Direction Règle de la main droite de A vers B

Pièges courants

  • L’ordre compte. Échanger les vecteurs inverse le signe de chaque composante, car le produit vectoriel est anticommutatif.
  • Le produit vectoriel n’existe qu’en 3D. Contrairement au produit scalaire, A × B est défini pour des vecteurs tridimensionnels (un analogue en 7D existe, mais il est rarement utilisé). Pour des vecteurs 2D, complétez la z manquante par 0.
  • Le signe du terme central. La composante y est az·bx − ax·bz, et non ax·bz − az·bx : le terme j est soustrait dans le développement du déterminant, et c’est là que se glissent la plupart des erreurs de calcul à la main.
  • Les vecteurs parallèles donnent zéro. Si A et B pointent dans la même direction (θ = 0), le résultat est le vecteur nul, puisque sin(0) = 0.

Questions fréquentes

Le produit scalaire renvoie un seul nombre (un scalaire) et mesure à quel point deux vecteurs sont parallèles. Le produit vectoriel renvoie un vecteur perpendiculaire aux deux et mesure à quel point ils sont perpendiculaires. Ils répondent à des questions opposées.

Pas directement : le produit vectoriel est défini pour des vecteurs 3D. Pour deux vecteurs 2D, vous pouvez fixer la composante z à 0 ; le résultat n’a alors qu’une composante z égale à ax·by − ay·bx, souvent appelée « produit vectoriel 2D » ou aire signée.

La norme est égale à l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs, et elle vaut aussi |A| · |B| · sin(θ), où θ est l’angle entre eux. La moitié de cette valeur correspond à l’aire du triangle formé par A et B.

Non. Les composantes sont envoyées au serveur uniquement pour effectuer le calcul et ne sont ni stockées dans une base de données ni conservées après la fermeture de la page.

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