Résolveur d'équations cubiques
Une équation cubique a la forme générale ax³ + bx² + cx + d = 0 et a toujours trois racines dans les nombres complexes. Entrez les quatre coefficients et le résolveur les retourne en utilisant la formule de Cardano : trois racines réelles lorsque le discriminant est non positif, une racine réelle plus une paire de conjugués complexes lorsque le discriminant est positif, et une configuration de racine double lorsque le discriminant est égal à zéro.
Comment le résolveur trouve les racines
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1
Entrez les coefficients
Quatre nombres : a, b, c, d. Le coefficient principal a doit être non nul, sinon, l'équation est quadratique, pas cubique.
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2
Cubique réduite
Le résolveur décale l'équation de -b/(3a) pour éliminer le terme quadratique, produisant la forme `t³ + pt + q = 0`.
-
3
Vérification du discriminant
Δ = (q/2)² + (p/3)³ décide du chemin : Δ > 0 donne une racine réelle, Δ = 0 donne une racine double, Δ < 0 donne trois racines réelles via la trigonométrie.
-
4
Retour en arrière
Chaque racine trouvée dans l'espace t est déplacée par -b/(3a) pour récupérer x. Le résolveur les retourne dans l'ordre décroissant lorsque cela est applicable.
Cas du discriminant et ce qu'ils signifient
La méthode de Cardano passe par l’une des trois branches selon le signe du discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³. La géométrie du graphique cubique reflète cela exactement.
Tableau des cas
| Discriminant | Racines | Forme du graphique |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 1 réelle, 2 conjugués complexes | Croise l’axe des x une fois |
| Δ = 0 | 3 réelles, au moins deux égales | Touche l’axe des x à une racine double |
| Δ < 0 | 3 racines réelles distinctes | Croise l’axe des x trois fois |
Exemple détaillé
Pour x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (coefficients 1, −6, 11, −6) :
- Décalage de −b/(3a) = 2 pour obtenir la forme réduite : p = −1, q = 0.
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, on emprunte donc le chemin des trois racines réelles (trigonométrique).
- La formule trigonométrique donne les trois racines réelles distinctes x = 1, 2, 3.
Considérations numériques
- L’erreur en virgule flottante apparaît lorsque les trois racines sont proches les unes des autres (une racine presque triple). Les racines affichées peuvent différer dans les dernières décimales des valeurs exactes.
- Un a très petit rend b/(3a) grand, ce qui domine l’arithmétique et réduit la précision. Si
|a|est en dessous d’environ 1e-12, résolvez comme une équation quadratique à la place. - Les coefficients entiers donnent la sortie la plus propre : les racines rationnelles apparaîtront à leurs valeurs exactes jusqu’à l’arrondi en virgule flottante.
Équations connexes
- Quadratique :
ax² + bx + c = 0. Utilisez le Résolveur d’Équations Quadratiques, forme fermée et plus simple. - Quartique :
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. La méthode de Ferrari se réduit à une cubique résolvante ; pas couvert ici. - Cubique réduite : mettez b = 0 pour sauter le décalage et fournissez
x³ + px + q = 0directement.
Questions fréquentes
L’équation n’est plus cubique. Le résolveur refuse de continuer dans ce cas, passez au Résolveur d’Équations Quadratiques pour bx² + cx + d = 0.
Le résolveur retourne la seule racine réelle dans ce cas. Les deux autres racines sont une paire de conjugués complexes que la formule de Cardano donne sous forme fermée ; calculez-les comme -x1/2 ± (√3/2) × i × module si vous en avez besoin pour une réponse symbolique.
Les implémentations numériques de la méthode de Cardano peuvent produire des résidus de l’ordre de 1e-15 en raison de l’arrondi en virgule flottante. Traitez tout ce qui est en dessous de 1e-10 comme réel ; ce résolveur filtre déjà ces résidus pour la branche Δ < 0.
Les quatre coefficients sont envoyés au serveur uniquement pour calculer les racines et ne sont pas enregistrés. Avec la vue pas à pas, les coefficients figurent aussi dans le lien de la page.
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