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Calculateur de combinaisons

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C(n, k), se lit “n choisir k”, compte le nombre de façons de choisir k éléments parmi n lorsque l’ordre n’a pas d’importance. Choisissez 3 garnitures parmi 10 → C(10, 3) = 120. Distribuez des mains de 5 cartes parmi 52 → C(52, 5) = 2 598 960. Le calculateur accepte n jusqu’à 170, retourne le résultat entier exact grâce à une arithmétique à précision arbitraire (aucun arrondi de notation scientifique) et affiche aussi le nombre de permutations P(n, k) correspondant.

Comment les combinaisons sont calculées

  1. 1

    Entrez n et k

    Deux entiers non négatifs avec k ≤ n. n est la taille du pool ; k est la taille de la sélection. Les valeurs au-dessus de 170 sont plafonnées.

  2. 2

    Formule appliquée

    C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). L'outil calcule aussi P(n, k), le nombre de sélections ordonnées.

  3. 3

    Sortie entière exacte

    Le calcul utilise une arithmétique entière exacte, donc aucun chiffre n'est perdu, même pour des valeurs comme C(170, 85).

  4. 4

    Les deux résultats affichés

    Les combinaisons C(n, k) et les permutations P(n, k) sont affichées ensemble ; P(n, k) = C(n, k) × k!.

La formule

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Équivalent : C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

Exemples résolus

  • C(10, 3) = 120 : façons de choisir 3 garnitures parmi 10.
  • C(52, 5) = 2 598 960 : mains de poker de 5 cartes d’un jeu standard.
  • C(49, 6) = 13 983 816 : combinaisons du tirage principal de la loterie nationale britannique.
  • C(70, 5) × 25 = 302 575 350 : combinaisons du jackpot Mega Millions (5 boules principales parmi 70 + 1 Mega Ball parmi 25).
  • C(100, 50) ≈ 1,01 × 10²⁹ : sous-ensembles de la moitié d’un ensemble de 100 éléments.

Combinaisons vs permutations

  • Combinaison C(n, k) : l’ordre n’a pas d’importance. Choisir {A, B, C} est la même chose que {C, B, A}.
  • Permutation P(n, k) : l’ordre compte. {A, B, C} diffère de {C, B, A}.
  • Relation : P(n, k) = C(n, k) × k!

Les tirages de loterie sont des combinaisons (l’ordre des boules n’a pas d’importance). Les positions d’arrivée de course sont des permutations (premier, deuxième, troisième comptent).

Triangle de Pascal

C(n, k) forme le triangle de Pascal lorsqu’il est arrangé :

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Chaque entrée C(n, k) est la somme des deux entrées au-dessus : C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Symétrique : C(n, k) = C(n, n-k).

Propriétés

  • C(n, 0) = C(n, n) = 1 : une seule façon de choisir rien ou tout.
  • C(n, 1) = n : n façons de choisir un élément.
  • Somme de la ligne n : Σ C(n, k) de k=0 à n = 2ⁿ. Total des sous-ensembles d’un ensemble de n éléments.
  • Bâton de hockey : Σ C(i, k) de i=k à n = C(n+1, k+1).

Applications dans le monde réel

  • Cotes de loterie : 1 / C(n, k) pour les numéros exacts tirés.
  • Conception d’échantillonnage : choisir des groupes de test à partir d’une population.
  • Génétique : compter les génotypes possibles de la descendance.
  • Planification : les tournois toutes rondes (round-robin) nécessitent C(équipes, 2) matchs.
  • Distribution binomiale : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).
  • Sélection de comité : façons de former un comité de 5 membres parmi 20 = C(20, 5) = 15 504.

Grands nombres : toujours exacts

Les résultats grossissent vite : C(100, 50) a déjà 30 chiffres. Le calculateur plafonne n à 170, ce qui couvre tous les usages pratiques comme les loteries, les comités et l’échantillonnage, et garde chaque réponse exacte car le calcul utilise une arithmétique entière à précision arbitraire plutôt que des nombres à virgule flottante.

Questions fréquentes

Choisir k éléments à inclure est mathématiquement équivalent à choisir n-k éléments à exclure. Même nombre d’arrangements. C(10, 3) = C(10, 7) = 120.

C(n, k) = 0 par convention lorsque k > n, vous ne pouvez pas choisir plus d’éléments que vous n’en avez. Le calculateur le signale et retourne 0.

Le calculateur accepte n jusqu’à 170 et retourne toujours l’entier exact. Pour les problèmes de loterie et de probabilité standard, n est presque toujours inférieur à 100.

Non. Les “combinaisons avec répétition” (également appelées multisets) utilisent une formule différente, C(n+k−1, k), que cet outil ne calcule pas. Traitez ce cas comme un problème distinct.

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