Calculateur de Complétion du Carré
Étant donné un trinôme du second degré ax²+bx+c, compléter le carré le réécrit sous la forme a(x-h)²+k, révélant directement le sommet de la parabole (h, k). Entrez a, b et c et le calculateur renvoie la forme du sommet a(x − h)² + k ainsi que les coordonnées du sommet (h, k). Utile pour l’analyse, la physique (mouvement d’un projectile), les problèmes d’optimisation et les devoirs d’algèbre.
Comment fonctionne la complétion du carré
-
1
Entrez les coefficients a, b, c
Le trinôme du second degré ax² + bx + c. Saisissez des décimales ; une fraction comme 1/2 s'écrit 0,5.
-
2
Mettez a en facteur dans les termes x² et x
a(x² + (b/a)x) + c, sépare la constante des termes en x.
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3
Ajoutez et soustrayez (b/(2a))²
Crée un carré parfait : a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.
-
4
Réduire à la forme du sommet
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a(x − h)² + k, où h = −b/(2a) et k = c − b²/(4a).
Exemple travaillé : 2x² + 8x + 5
Étape 1, mettez a = 2 en facteur dans les termes en x : 2(x² + 4x) + 5
Étape 2, la moitié de 4 est 2, au carré c’est 4. Ajoutez et soustrayez 4 à l’intérieur : 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5
Étape 3, séparez en carré parfait et reste : 2((x + 2)² − 4) + 5
Étape 4, distribuez 2 : 2(x + 2)² − 8 + 5
Étape 5, simplifiez la constante : 2(x + 2)² − 3
Forme du sommet : a = 2, h = −2, k = −3 → sommet à (−2, −3).
La formule générale
Pour ax² + bx + c :
- h = −b / (2a)
- k = c − b² / (4a)
- Forme du sommet : a(x − h)² + k
Pourquoi compléter le carré ?
- Trouver le sommet instantanément pour le croquis de la parabole.
- Résoudre des équations quadratiques sans la formule quadratique, particulièrement utile pour les racines irrationnelles.
- Dériver la formule quadratique elle-même : compléter le carré sur ax² + bx + c = 0 produit x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Calcul : trouver les extrema des quadratiques sans prendre de dérivées.
- Mouvement d’un projectile : la hauteur maximale d’une balle lancée vers le haut est le k dans la forme du sommet de son équation de hauteur.
- Cercles et sections coniques : compléter le carré sur les termes x et y convertit x² + y² + Dx + Ey + F = 0 en (x−h)² + (y−k)² = r², rendant le centre et le rayon évidents.
Géométrie de la parabole à partir de la forme du sommet
- Sommet : (h, k).
- Axe de symétrie : x = h.
- S’ouvre vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
- Valeur maximale ou minimale de la fonction : k.
- Largeur : plus étroite pour |a| > 1, plus large pour |a| < 1.
- Racines (si réelles) : x = h ± √(−k/a). Réelles seulement lorsque k/a ≤ 0.
Erreurs courantes
- Oublier de distribuer a après avoir complété le carré à l’intérieur des parenthèses. Le terme de correction change.
- Erreurs de signe sur b/(2a) : h = −b/(2a), pas +b/(2a).
- Ne pas diviser le coefficient du milieu par deux avant de le mettre au carré. “La moitié de b sur a, puis au carré” est la phrase canonique.
- Laisser a ≠ 1 enfoui : factorisez-le toujours d’abord pour simplifier.
Cas particulier : a = 1
Lorsque a = 1, le processus se simplifie :
- x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
- h = −b/2, k = c − b²/4
k négatif signifie racines réelles
Si k a le signe opposé à a, la parabole croise l’axe des x. Résolvez a(x − h)² = −k pour les trouver.
Questions fréquentes
Compléter le carré expose directement le sommet (forme du graphique), tandis que la formule quadratique donne les racines. Les deux ont leurs usages : racines quand vous voulez où y = 0, forme du sommet quand vous voulez la forme, le maximum, le minimum ou l’axe de symétrie.
Saisissez les coefficients sous forme de décimales ; les fractions comme 1/2 ou 3/4 se tapent 0,5 ou 0,75. Les résultats sont calculés avec la précision en virgule flottante habituelle d’une calculatrice.
Cette version gère les quadratiques dans une seule variable. Pour les sections coniques (cercles, ellipses) en x et y, complétez le carré dans chaque variable séparément, le processus est identique, appliqué deux fois.
La forme du sommet fonctionne toujours, la parabole ne croise simplement pas l’axe des x, donc il n’y a pas de racines réelles. Le calculateur renvoie toujours la forme du sommet et les coordonnées du sommet.
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