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Calculatrice de nombres complexes

Étape 1 / 3
Premier nombre complexe z₁ = a + bi
Suivant

Un nombre complexe a la forme a + bi, où a est la partie réelle, b la partie imaginaire et i la racine carrée de −1. Cette calculatrice prend deux nombres complexes, z₁ = a + bi et z₂ = c + di, et renvoie leur somme, leur différence, leur produit et leur quotient sous la forme standard x + yi. Elle indique aussi le module (distance à l’origine) et l’argument (angle, en degrés) de z₁, pour passer d’un coup d’œil de la vue cartésienne à la vue polaire.

Comment utiliser la calculatrice

  1. 1

    Saisissez z₁

    Tapez la partie réelle a et la partie imaginaire b du premier nombre complexe.

  2. 2

    Saisissez z₂

    Tapez la partie réelle c et la partie imaginaire d du second nombre complexe.

  3. 3

    Lisez les résultats

    La somme, la différence, le produit et le quotient apparaissent sous la forme a + bi, avec le module et l'argument de z₁.

Les quatre opérations

Pour z₁ = a + bi et z₂ = c + di, l’arithmétique découle directement du fait de traiter i comme un symbole tel que i² = −1 :

  • Somme : (a + c) + (b + d)i
  • Différence : (a − c) + (b − d)i
  • Produit : (ac − bd) + (ad + bc)i
  • Quotient : multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z₂ : [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

La division n’est définie que lorsque le dénominateur c² + d² est non nul, c’est-à-dire dès lors que z₂ n’est pas 0 + 0i.

Module et argument de z₁

Le module est la distance de l’origine au point (a, b) dans le plan complexe : |z₁| = √(a² + b²). L’argument est l’angle que forme z₁ avec le demi-axe réel positif, calculé avec l’arc tangente à deux arguments arg(z₁) = atan2(b, a) et indiqué ici en degrés, dans l’intervalle de −180° à 180°.

Exemple résolu

Soient z₁ = 3 + 2i et z₂ = 1 + 4i.

Opération Calcul Résultat
Somme (3 + 1) + (2 + 4)i 4 + 6i
Différence (3 − 1) + (2 − 4)i 2 − 2i
Produit (3·1 − 2·4) + (3·4 + 2·1)i −5 + 14i
Quotient [(3 + 8) + (2 − 12)i] / 17 ≈ 0,6471 − 0,5882i
Module z₁ √(3² + 2²) = √13 ≈ 3,6056
Argument z₁ atan2(2, 3) ≈ 33,69°

Pièges à éviter

  • Oublier que i² = −1. En multipliant, le terme bd·i² change de signe et rejoint la partie réelle ; c’est pourquoi la partie réelle du produit est ac − bd, et non ac + bd.
  • Diviser sans le conjugué. Vous ne pouvez pas scinder (a + bi)/(c + di) terme à terme ; multipliez d’abord par (c − di)/(c − di).
  • Mélanger degrés et radians. L’argument est ici en degrés ; de nombreux langages de programmation renvoient des radians depuis atan2. Multipliez par 180/π pour convertir.
  • Erreurs de quadrant. Utilisez atan2, et non le simple arctan(b/a), sinon l’angle des points à partie réelle négative tombe dans le mauvais quadrant.

Questions fréquentes

Ce sont les parties des deux entrées : z₁ = a + bi (a réel, b imaginaire) et z₂ = c + di (c réel, d imaginaire). Mettez b ou d à 0 pour travailler avec un nombre purement réel, ou a ou c à 0 pour un nombre purement imaginaire.

Les degrés sont plus faciles à lire pour la plupart des gens. La valeur provient de atan2(b, a) et varie de −180° à 180°. Pour convertir en radians, multipliez par π/180.

La division par zéro n’est pas définie : lorsque c et d valent tous deux 0, le quotient ne peut pas être calculé et la calculatrice le signale. Toutes les autres opérations (somme, différence, produit) continuent de fonctionner.

Les nombres que vous saisissez ne sont envoyés à notre serveur que pour calculer les résultats affichés sur la page ; dans la vue par étapes, ils figurent aussi dans le lien de la page entre les étapes. Ils ne sont ni conservés ni partagés.

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