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Calculatrice de valeurs propres

Étape 1 / 4 Matrice A
Première ligne

Utilisez cette calculatrice de valeurs propres pour résoudre une matrice réelle 2×2 à partir de ses quatre coefficients. L’outil calcule la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique, le discriminant et les valeurs propres, puis affiche les vecteurs propres réels lorsque les deux valeurs propres sont distinctes et réelles. Il est conçu pour les exercices d’algèbre linéaire, les vérifications rapides dans les modèles d’ingénierie et le contrôle du résultat avant de diagonaliser une petite matrice à la main.

Comment trouver les valeurs propres

  1. 1

    Saisissez les coefficients de la matrice

    Renseignez a, b, c et d pour la matrice A = [[a, b], [c, d]]. Les décimales et les valeurs négatives sont acceptées.

  2. 2

    Formez l'équation caractéristique

    La calculatrice utilise la trace T = a + d et le déterminant D = ad - bc pour écrire λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    Classez les racines

    Le discriminant T² - 4D indique si les valeurs propres sont deux réels distincts, une valeur double ou un couple de complexes conjugués.

Formule pour une matrice 2×2

Pour A = [[a, b], [c, d]], les valeurs propres sont les racines de :

det(A - λI) = 0

En développant ce déterminant, on obtient :

λ² - Tλ + D = 0

Avec :

  • T = a + d la trace.
  • D = ad - bc le déterminant.
  • Δ = T² - 4D le discriminant.

D’où :

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Exemple détaillé

Pour A = [[2, 1], [1, 2]], la trace vaut T = 2 + 2 = 4 et le déterminant D = 2·2 - 1·1 = 3. Le polynôme caractéristique est :

λ² - 4λ + 3 = 0

Le discriminant vaut Δ = 4² - 4·3 = 4, donc les valeurs propres sont :

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Pour la valeur propre 3, un vecteur propre est [1, 1]. Pour la valeur propre 1, un vecteur propre est [1, -1]. Tout multiple scalaire non nul de ces vecteurs est aussi un vecteur propre valable.

Ce que signifie le discriminant

Discriminant Δ Cas des valeurs propres Ce qu’il faut attendre
Δ > 0 Deux valeurs propres réelles Deux racines réelles distinctes et, pour une matrice 2×2, deux vecteurs propres indépendants lorsque la matrice est diagonalisable sur les réels.
Δ = 0 Valeur propre double Une racine double. Le sous-espace propre peut être de dimension 1 ou 2 : vérifiez donc les vecteurs propres séparément si la diagonalisation vous importe.
Δ < 0 Couple de complexes conjugués Aucune valeur propre réelle. Les racines ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées.

Erreurs fréquentes

  • Mal écrire A - λI. Seuls les coefficients de la diagonale changent : a - λ et d - λ.
  • Oublier le signe du déterminant. Pour une matrice 2×2, D = ad - bc, et non ad + bc.
  • Croire qu’une valeur propre double est forcément diagonalisable. Une racine double exige quand même assez de vecteurs propres indépendants.
  • Arrondir trop tôt. Gardez la trace, le déterminant et le discriminant exacts le plus longtemps possible, surtout avec des décimales.

Questions fréquentes

L’outil se concentre sur les matrices réelles 2×2. Le résultat reste ainsi transparent : chaque valeur découle de la trace, du déterminant et du polynôme caractéristique du second degré.

Oui. Si le discriminant T² - 4D est négatif, les valeurs propres forment un couple de complexes conjugués. Une matrice de rotation comme [[0, -1], [1, 0]] en est l’exemple classique.

La calculatrice affiche les vecteurs propres quand les valeurs propres réelles sont distinctes, car un vecteur réel simple peut alors être donné pour chaque racine. Les cas doubles et complexes demandent un contexte supplémentaire : l’outil s’y limite donc aux valeurs propres et à leur classification.

Aucun fichier n’est envoyé. Les coefficients sont évalués par le composant de la page pour produire la trace, le déterminant, le polynôme et les valeurs propres.

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