Calculateur de longueur d’hélice

Formule de longueur d’une hélice circulaire

Une hélice circulaire possède un rayon d’axe constant et la même avancée axiale à chaque révolution. Une fois déroulée sur un tour complet, sa trajectoire forme l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Un côté mesure la distance circulaire 2πR et l’autre le pas axial p.

Avec le rayon d’axe R, le diamètre d’axe D = 2R, le pas par tour p et le nombre de tours N :

• circonférence C = 2πR = πD
• longueur par tour ℓ = √(C² + p²)
• longueur totale de l’hélice L = N × √((2πR)² + p²)
• hauteur totale H = N × p
• angle d’hélice α = atan(p ÷ C)

L’angle est mesuré depuis le plan perpendiculaire à l’axe. Un pas plus grand rend la trajectoire plus inclinée. À rayon, valeur de pas et nombre de tours identiques, les hélices à droite et à gauche ont la même longueur.

Si la hauteur totale H est saisie à la place du nombre de tours :

• N = H ÷ p
• L = √((2πRN)² + H²)

Ces expressions sont équivalentes. R, D, p, H et L doivent employer des unités de longueur compatibles. Le nombre de tours est sans unité.

Exemple avec trois tours

Prenons une hélice cylindrique de diamètre d’axe 10 mm, de pas 5 mm par tour et comptant 3 tours.

1. Circonférence : C = π × 10 = 31,4159265 mm
2. Longueur par tour : ℓ = √(31,4159265² + 5²) = 31,8113257 mm
3. Longueur totale : L = 3 × 31,8113257 = 95,4339770 mm
4. Hauteur totale : H = 3 × 5 = 15 mm
5. Angle d’hélice : α = atan(5 ÷ 31,4159265) ≈ 9,043061°

La longueur totale de l’axe vaut environ 95,434 mm. Elle dépasse trois circonférences, car chaque tour monte aussi de 5 mm.

Exemple avec un tour partiel

Prenons maintenant un diamètre d’axe de 8 cm, un pas de 2 cm et 0,25 tour.

• C = π × 8 = 25,1327412 cm
• ℓ = √(25,1327412² + 2²) = 25,2121931 cm
• L = 0,25 × 25,2121931 = 6,3030483 cm
• H = 0,25 × 2 = 0,5 cm

La trajectoire d’un quart de tour mesure environ 6,30305 cm et monte de 0,5 cm. Le nombre de tours peut être décimal tant que le pas reste l’avancée d’une révolution complète.

Diamètre d’axe et spires de ressort

La formule suit l’axe de l’hélice. Pour une spire en fil rond, utilisez le diamètre moyen Dmoyen, qui passe par le centre du fil :

• Dmoyen = diamètre extérieur − diamètre du fil
• Dmoyen = diamètre intérieur + diamètre du fil

Saisir directement le diamètre extérieur donne une longueur trop grande ; le diamètre intérieur donne une longueur trop petite. Le résultat couvre seulement le corps hélicoïdal régulier défini par les entrées. Un ressort ou une pièce en fil formé peut aussi comporter des spires terminales inactives, crochets, boucles, extrémités meulées, transitions, parties droites et surlongueurs de fabrication. Ajoutez-les selon un plan approprié ou une spécification de procédé qualifiée. Ce calculateur ne détermine ni raideur, charge, contrainte, durée de vie en fatigue, flambage, adéquation du matériau, ni longueur de débit exacte.

Une hélice n’est pas toute courbe enroulée

Une spirale d’Archimède plane n’est pas une hélice circulaire vue de dessus. Son rayon augmente avec l’angle, donc la formule à rayon constant ne convient pas. Avec un pas nul, la trajectoire dégénère en cercle et n’est plus une hélice tridimensionnelle.

Portée et limites

Le calculateur suppose un axe circulaire idéal à rayon et pas constants. Il ne couvre pas les hélices coniques, elliptiques ou à pas variable, les spires déformées ni les splines quelconques. Les mesures doivent décrire le même axe et utiliser des unités compatibles. Une trajectoire sur la surface d’un cylindre épais nécessite aussi un rayon de référence clairement défini.

Pour les pièces fabriquées, escaliers, mains courantes, vis sans fin, filetages, ressorts, tubes et composants structurels, la géométrie ne constitue qu’une donnée d’une conception sûre. Surépaisseurs, comportement au cintrage, extrémités, tolérances, charges, propriétés des matériaux, assemblages et normes applicables exigent des conseils techniques adaptés. Ne considérez pas la longueur d’axe comme une validation de conception ni comme une quantité d’achat garantie.

Références techniques officielles

• OpenStax Calculus Volume 3 : longueur d’arc et courbure : établit la formule vectorielle et l’applique à une hélice circulaire.
• OpenStax Calculus Volume 2 : longueur d’arc en coordonnées polaires : donne l’intégrale distincte nécessaire à une spirale plane.
• Propriétés des hélices Autodesk : définit rayon, tours et hauteur entre les tours.
• Présentation des hélices Autodesk : distingue les géométries cylindriques, coniques et planes.
• Unités SI de longueur du NIST : documente les unités et la relation exacte 1 in = 25,4 mm.