Calculateur d'intégrales
Entrez une expression en x (ou toute variable) et le calculateur renvoie soit une primitive symbolique, soit une valeur numérique sur un intervalle donné. Gère les polynômes, les fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmiques et rationnelles, ainsi que les substitutions courantes et l’intégration par parties — avec les étapes affichées si vous devez vérifier vos calculs.
Comment évaluer une intégrale
-
1
Tapez l'intégrande
Écrivez la fonction comme `x^2 + 3*sin(x)` ou `1 / (x^2 + 1)`. La multiplication implicite avec des espaces est acceptée.
-
2
Choisissez défini ou indéfini
Pour une intégrale définie, définissez les bornes inférieure et supérieure (prend en charge `inf` et `-inf`).
-
3
Calculer
L'outil tente d'abord une solution symbolique ; si cela échoue, il revient à la quadrature numérique.
-
4
Lisez les étapes
Le détail étape par étape optionnel montre la substitution, l'intégration par parties ou la décomposition en fractions partielles.
Primitives courantes
| f(x) | Intégrale |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sec^2(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan(x) + C |
| 1 / sqrt(1 - x^2) | arcsin(x) + C |
Techniques que l’outil essaie, dans l’ordre
- Règles de base — puissance, exponentielle, trig.
- Substitution (u-sub) — repérer une fonction et sa dérivée dans l’intégrande.
- Intégration par parties —
∫u dv = uv - ∫v du, pour des produits de différents types de fonctions. - Fractions partielles — pour des intégrandes rationnels
P(x)/Q(x)avecdeg(P) < deg(Q). - Identités trigonométriques — pour des produits de sinus et cosinus.
- Quadrature numérique — Gauss-Kronrod pour des intégrales définies lorsque aucune forme fermée n’existe.
Notation d’intégrale définie
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Le théorème fondamental dit : si F est une primitive de f, l’intégrale définie de a à b est égale à F(b) - F(a). L’outil calcule F d’abord, puis évalue aux bornes.
Erreurs courantes
- Oublier le
+ C. Chaque intégrale indéfinie a une constante d’intégration. L’outil l’affiche ; les étudiants qui écrivent à la main l’oublient souvent. - Mauvaises bornes sur les intégrales impropres.
∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, mais∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). Vérifiez toujours la convergence. - Utiliser arctan au lieu d’arctanh lorsque le dénominateur se factorise comme
(x-a)(x-b)avec des racines réelles — c’est un logarithme, pas un arctan. - Oublier la règle de la chaîne dans la substitution u. Si
u = 3x, alorsdu = 3 dx, pasdu = dx.
Quand il n’y a pas de forme fermée
Certaines intégrales n’ont tout simplement pas de primitive élémentaire — e^(-x^2), sin(x)/x, 1/ln(x). Sur un intervalle spécifique, elles ont tout de même une valeur numérique, que l’outil calcule avec une grande précision.
Questions fréquentes
Pour une intégrale définie, l’outil se replie sur la quadrature numérique (Gauss-Kronrod) et renvoie une valeur avec une estimation d’erreur. Pour une intégrale indéfinie sans primitive élémentaire, il le signale et propose un développement en série comme alternative.
Oui. Enveloppez l’expression pour clarifier la variable, par exemple integrate(t^2, t). Toute variable à lettre unique fonctionne.
Oui. Activez “afficher les étapes” et l’outil affiche la substitution, le choix d’intégration par parties ou la décomposition en fractions partielles qu’il a utilisé, une ligne à la fois.
Oui, mais vous devrez peut-être diviser l’intervalle aux passages par zéro pour une réponse claire. L’outil gère \|x\| en détectant les signes automatiquement lorsque c’est possible.
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