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Calculateur de racine carrée

Étape 1 / 4 Racine carrée

Saisissez n’importe quel nombre. Pour une entrée non négative, le calculateur renvoie la racine carrée principale sous forme décimale ; pour un entier positif, il affiche aussi une forme radicale simplifiée quand c’est possible : √72 = 6√2 et √200 = 10√2. Les carrés parfaits donnent des nombres entiers. Les entrées négatives sont signalées comme complexes, et le guide ci-dessous explique comment √(−x) devient i√x.

Comment la racine est calculée

  1. 1

    Saisir le radicande

    Indiquez le nombre placé sous le signe radical. Il peut être positif, négatif ou nul.

  2. 2

    Lire le résultat décimal

    Pour les entrées non négatives, le calculateur renvoie la racine principale avec le calcul standard de racine carrée en virgule flottante.

  3. 3

    Vérifier la forme radicale simplifiée

    Pour les entiers positifs, les facteurs qui sont des carrés parfaits sortent du radical. √72 = √(36 × 2) = 6√2.

  4. 4

    Utiliser les notes pour contrôler

    Les exemples ci-dessous montrent la méthode par facteurs, des valeurs décimales fréquentes et la différence entre racines réelles et complexes.

Carrés parfaits à connaître

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

Simplifier les nombres qui ne sont pas des carrés parfaits

Pour les nombres entiers, cherchez le plus grand facteur qui soit un carré parfait :

  • √50 = √(25 × 2) = 5√2
  • √72 = √(36 × 2) = 6√2
  • √108 = √(36 × 3) = 6√3
  • √500 = √(100 × 5) = 10√5
  • √1000 = √(100 × 10) = 10√10

S’il reste un facteur qui n’est pas un carré, laissez-le sous le radical. Par exemple, √180 = √(36 × 5) = 6√5, et non √(4 × 45) = 2√45, car 45 contient encore le facteur carré parfait 9.

Valeurs décimales courantes et usages

  • √2 ≈ 1,41421 (géométrie au collège : diagonale d’un carré de 1 × 1)
  • √3 ≈ 1,73205 (diagonale de l’espace d’un cube unité)
  • √5 ≈ 2,23607 (apparaît dans le nombre d’or (1+√5)/2)
  • √7 ≈ 2,64575
  • √π ≈ 1,77245 (statistiques et intégrales gaussiennes)
  • √10 ≈ 3,16228
  • √(1000) ≈ 31,6228 (multiplier le nombre par 10 multiplie la racine par environ 3,16)

En construction ou en mesure, les racines carrées transforment souvent une aire en longueur de côté : une terrasse carrée de 49 m² a pour côté √49 = 7 m, tandis qu’un espace carré de 80 m² a pour côté √80 = 4√5 m ≈ 8,94 m.

Nombres négatifs et racines complexes

La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel. Dans les nombres complexes, √(−x) = i√x pour x positif ; ainsi √(−4) = 2i. Le calculateur en ligne signale les entrées négatives comme complexes au lieu d’afficher une décimale réelle.

Racine carrée et racine n-ième

Ce calculateur traite les racines carrées, c’est-à-dire les racines d’indice 2. Pour les racines cubiques, quatrièmes racines et autres indices, utilisez un outil général de racine n-ième. Identités clés :

  • √(ab) = √a × √b (seulement si a et b sont non négatifs)
  • √(a/b) = √a / √b (seulement si b > 0)
  • (√a)² = a (seulement si a >= 0)

Repère historique

Le symbole radical √ vient de la lettre r, issue de radix, racine en latin, au XVIe siècle. La barre horizontale, appelée vinculum, a été ajoutée au XVIIe siècle pour indiquer précisément ce qui se trouve sous la racine.

Questions fréquentes

Tout nombre positif possède deux racines carrées : +r et −r. Le symbole radical √ renvoie la racine principale, celle qui est non négative. Quand on résout une équation du second degré, on tient généralement compte des deux racines.

Par convention, seulement 5. √ renvoie la racine principale. Quand on résout x² = 25, 5 et −5 vérifient tous deux l’équation, donc on écrit x = ±5.

Les méthodes courantes consistent à extraire les carrés parfaits, utiliser l’algorithme de division posée chiffre par chiffre ou appliquer la méthode de Newton : x_new = (x + a/x)/2. La méthode de Newton converge vite ; quelques itérations suffisent souvent pour une vérification en classe.

Une preuve classique raisonne par contradiction. Si √2 = p/q en fraction irréductible, alors 2q² = p², donc p est pair. En écrivant p = 2k, on obtient q² = 2k², donc q est pair lui aussi. Cela contredit l’hypothèse que p/q était irréductible ; √2 ne peut donc pas être une fraction.

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