Calculateur de racine carrée
Entrez un nombre positif et la calculatrice renvoie sa racine carrée sous forme décimale jusqu’à 15 chiffres et, si possible, sa forme radicale simplifiée exacte — √72 devient 6√2, √200 devient 10√2. Pour les carrés parfaits, vous obtenez un entier ; pour les négatifs, vous obtenez une notation i avec l’unité imaginaire extraite.
Comment la racine est calculée
-
1
Entrez le radicande
Le nombre sous le radical. Positif, négatif ou zéro.
-
2
Forme décimale
Calculé via l'instruction de racine carrée IEEE 754 — précis à 15 chiffres significatifs.
-
3
Forme radicale simplifiée
Mettez en facteur les diviseurs carrés parfaits. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
Afficher le travail
La factorisation étape par étape est affichée pour que vous puissiez la reproduire à la main.
Carrés parfaits à connaître
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Simplification des non-carrés parfaits
Le truc est de trouver le plus grand facteur carré parfait :
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Si le résultat a encore un facteur non carré, répétez : √180 = √(36 × 5) = 6√5, pas √(4 × 45) = 2√45 (pas complètement simplifié).
Valeurs décimales courantes
- √2 ≈ 1.41421 (Pythagore dans un carré unité)
- √3 ≈ 1.73205 (diagonale d’un cube)
- √5 ≈ 2.23607 (apparaît dans le nombre d’or (1+√5)/2)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1.77245 (utilisé en statistiques, intégrales gaussiennes)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31.6228 (chaque augmentation de 10x augmente √ d’environ 3.16x)
Nombres négatifs et imaginaires
La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans les réels. Dans les nombres complexes, √(−x) = i√x pour x positif. Donc √(−4) = 2i. La calculatrice rapporte la forme imaginaire plutôt qu’une décimale pour les entrées négatives.
Racine carrée vs racine n-ième
La calculatrice gère les racines carrées (2ème). Pour les racines cubiques, les racines quatrièmes, etc., utilisez un outil de racine n-ième général. Identités clés :
- √(ab) = √a × √b (uniquement si a et b sont non négatifs)
- √(a/b) = √a / √b (uniquement si b > 0)
- (√a)² = a (uniquement si a >= 0)
Point historique
Le symbole radical √ a évolué à partir de la lettre r (pour radix, racine en latin) dans les années 1500. La barre horizontale (le vinculum) a été ajoutée au 17ème siècle pour délimiter ce qui est sous la racine.
Questions fréquentes
Chaque nombre positif a deux racines carrées : +x et −x. La racine principale (la non-négative) est ce à quoi fait généralement référence √. Les équations quadratiques utilisent les deux.
Juste 5, par convention. √ renvoie la racine principale (non négative). Lors de la résolution de x² = 25, 5 et −5 satisfont l’équation, donc vous écrivez x = ±5.
Méthodes historiques : algorithme de division longue chiffre par chiffre, méthode de Newton (itérative : x_new = (x + a/x)/2), ou facteur et simplifie pour les racines de nombres riches en carrés parfaits. La méthode de Newton converge rapidement — trois itérations donnent une précision de 10 chiffres pour la plupart des entrées.
Prouvé par les Grecs par contradiction : si √2 = p/q en termes les plus simples, alors 2q² = p², rendant p pair, donc p = 2k, puis 2q² = 4k², donnant q² = 2k², rendant q pair aussi — contredisant termes les plus simples. Donc √2 ne peut pas être une fraction ; il est irrationnel.
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