Calculateur de covariance
La covariance mesure comment deux variables varient ensemble. Une covariance positive signifie qu’elles ont tendance à se déplacer dans la même direction, négative signifie qu’elles se déplacent dans des directions opposées, et zéro signifie qu’il n’y a pas de relation linéaire. Contrairement à la corrélation, la covariance est dans les unités d’origine au carré, donc sa magnitude est difficile à interpréter sans contexte. Ce calculateur renvoie à la fois la covariance d’échantillon (en divisant par n-1) et la covariance de population (en divisant par n).
Comment calculer la covariance
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1
Collez les données appariées X/Y
Une X et une Y par ligne. Séparées par des virgules, des tabulations ou des espaces. Même nombre dans chaque colonne.
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2
Les deux versions sont affichées
Le calculateur affiche toujours les deux : la covariance d'échantillon (en divisant par n-1) et la covariance de population (en divisant par n).
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3
Exécutez le calcul
Le calculateur calcule les moyennes, les écarts croisés, et divise par n ou n-1.
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4
Lisez le résultat
Lisez les deux valeurs de covariance. Une valeur positive signifie que les variables tendent à évoluer ensemble, une valeur négative qu'elles évoluent dans des directions opposées.
Formules
Covariance d’échantillon : cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)
Covariance de population : cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n
Le diviseur n - 1 (correction de Bessel) rend la covariance d’échantillon un estimateur non biaisé de la covariance de population. Les logiciels statistiques par défaut utilisent la version d’échantillon.
Le signe est ce qui compte
| Signe | Signification |
|---|---|
| Positif | X et Y ont tendance à être au-dessus/en dessous de leurs moyennes ensemble |
| Négatif | X au-dessus de la moyenne a tendance à s’associer avec Y en dessous de la moyenne |
| Zéro | Aucune tendance linéaire (la relation peut rester non linéaire) |
La magnitude dépend des unités : cov(taille_cm, poids_kg) pour les adultes est d’environ +70, mais passez la taille en mètres et elle tombe à +0,7 : même relation, nombre différent. C’est pourquoi la corrélation est plus souvent rapportée.
Covariance vs. corrélation
corrélation = covariance / (σ_X × σ_Y)
La corrélation est la version sans unité, toujours dans [-1, +1], comparable entre les ensembles de données. La covariance est principalement utile dans les formules (variance de portefeuille, régression, ACP) plutôt qu’en tant qu’indicateur de synthèse.
Où la covariance est utilisée directement
- Théorie du portefeuille : variance de portefeuille = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ). Vous avez besoin de la covariance, pas de la corrélation, car les poids et les variances comptent.
- Régression linéaire : l’estimation de la pente β = cov(X, Y) / var(X).
- Analyse en composantes principales (ACP) : la matrice de covariance est ce qui est diagonalisé.
- Traitement du signal : la covariance croisée mesure la similarité entre les signaux à différents décalages.
Erreurs courantes
- Mélanger n et n-1 : la covariance d’échantillon et de population peut différer de quelques pourcents sur de petits ensembles de données et causer des problèmes de reproductibilité. Décidez ce dont vous avez besoin et indiquez-le.
- Interpréter la magnitude : une covariance de 50 n’est pas “grande” en soi ; cela dépend entièrement des unités et de la variance de X et Y.
- Supposer que la covariance zéro = indépendance : une covariance zéro signifie pas de relation linéaire. Deux variables peuvent avoir une covariance de 0 et être parfaitement prévisibles de manière non linéaire (par exemple, Y = X² sur X symétrique).
Questions fréquentes
Échantillon (diviser par n-1) lorsque vos données sont un échantillon d’une population plus grande, le cas normal en recherche. Population (diviser par n) uniquement lorsque votre ensemble de données contient littéralement chaque observation possible. Par défaut, utilisez l’échantillon à moins que vous ne soyez sûr.
Parce que la covariance s’exprime dans le produit des deux unités. Si X est en euros et Y en unités, la covariance est en euro-unités. Convertissez en corrélation (diviser par σ_X × σ_Y) si vous voulez un nombre sans unité.
Non. |cov(X, Y)| ≤ σ_X × σ_Y (Cauchy-Schwarz). L’égalité ne tient que lorsque Y est une fonction linéaire parfaite de X. Si votre calculateur affiche une covariance plus grande, il y a un bug.
Pas nécessairement. Une covariance nulle signifie l’absence de relation linéaire. La fonction Y = sin(X) sur [0, 2π] a une covariance de 0 avec X mais est parfaitement déterminée. Ce n’est que pour des variables conjointement normales que la covariance nulle implique l’indépendance.
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