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Calculateur de dérivée partielle

Étape 1 / 4 Dérivée partielle

Utilisez ce calculateur de dérivée partielle pour dériver des expressions polynomiales en x, y et z. Saisissez des termes comme 3x^2y, x*y, 4xy^3 ou 2,5z, choisissez la variable, et l’outil traite les autres variables comme des constantes. Vous pouvez aussi évaluer la dérivée obtenue en un point précis pour des vérifications rapides en analyse, en optimisation et en modélisation multivariable.

Comment trouver une dérivée partielle

  1. 1

    Saisissez une expression polynomiale

    Utilisez x, y et z avec des puissances, des décimales et des signes de multiplication facultatifs. Le calculateur garde la saisie bornée et n'évalue jamais de code arbitraire.

  2. 2

    Choisissez la variable de dérivation

    Sélectionnez x, y ou z. Lors de la dérivation par rapport à cette variable, toutes les autres variables sont maintenues constantes.

  3. 3

    Lisez ou évaluez le résultat

    Examinez les termes simplifiés de la dérivée, puis activez l'évaluation en un point si vous voulez une valeur numérique pour un couple de coordonnées x, y et z choisi.

Ce que signifie une dérivée partielle

Une dérivée partielle mesure comment une fonction à plusieurs variables change lorsqu'une variable évolue tandis que les autres restent fixes. Pour une fonction f(x, y, z), la dérivée ∂f/∂x traite y et z comme des constantes. C'est la règle fondamentale derrière le calculateur : dériver uniquement la variable sélectionnée, conserver inchangés tous les autres facteurs variables et supprimer tout terme qui ne contient pas la variable sélectionnée.

Pour un terme polynomial, la règle de puissance s'applique toujours :

∂/∂x (a * x^m * y^n * z^p) = a * m * x^(m-1) * y^n * z^p

Le même schéma fonctionne pour y ou z ; seule la variable choisie fournit le multiplicateur d'exposant.

Exemple résolu

Pour f(x, y, z) = 3x^2y + 4xy^3 - 5z + 7 :

Cible Termes qui changent Dérivée partielle
x 3x^2y, 4xy^3 6xy + 4y^3
y 3x^2y, 4xy^3 3x^2 + 12xy^2
z -5z -5

Si vous évaluez ∂f/∂x = 6xy + 4y^3 en (x, y, z) = (2, 3, 1), la valeur est 6 * 2 * 3 + 4 * 3^3 = 144. Remarquez que z n'apparaît pas dans cette dérivée : changer z ne modifierait donc pas cette valeur précise.

Syntaxe prise en charge

Le calculateur est volontairement déterministe. Il prend en charge les termes de type polynomial en x, y et z : les produits implicites comme 3x^2y, les produits explicites comme x*y, les coefficients décimaux comme 2,5z, les constantes et les signes plus ou moins. Il ne traite pas les fonctions trigonométriques, les logarithmes, les parenthèses, les quotients ni les scripts arbitraires. Pour ces cas symboliques plus larges, utilisez le résultat comme vérificateur rapide de polynômes plutôt que comme système de calcul formel complet.

Pièges courants

  • Oublier la règle de la variable constante. Dans ∂/∂x, le terme 4xy^3 devient 4y^3, et non 12xy^2.
  • Supprimer les facteurs conservés. 3x^2y devient 6xy ; le y reste car c'est un multiplicateur constant.
  • Confondre une dérivée partielle avec une dérivée totale. Une dérivée partielle fait varier une seule entrée à la fois. Une dérivée totale tient aussi compte de la dépendance des variables entre elles.
  • Attendre des fonctions non prises en charge. Des expressions comme sin(xy) ou (x + y)^2 doivent être développées ou traitées avec un outil de calcul formel avant que ce calculateur puisse les gérer.

Questions fréquentes

Il prend en charge les termes polynomiaux construits à partir de x, y et z. Vous pouvez utiliser la multiplication implicite comme 3x^2y ou la multiplication explicite comme x*y.

Elles sont traitées comme des constantes. Par exemple, lors de la dérivation de 3x^2y par rapport à x, le y reste un multiplicateur constant et le résultat est 6xy.

Oui. Activez l’évaluation en un point et saisissez les valeurs de x, y et z. Le calculateur substitue ces nombres dans le polynôme dérivé après la dérivation.

Aucun fichier ni service symbolique externe n’est utilisé par cet outil. L’expression est traitée par le calculateur Livewire pour la requête en cours, et aucun code arbitraire n’est jamais exécuté.

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