Calculateur RREF

Définition de la forme échelonnée réduite par lignes

Une matrice est sous forme échelonnée réduite par lignes lorsque chaque ligne non nulle possède un 1 directeur, chaque 1 directeur est situé plus à droite que celui de la ligne précédente, tous les autres éléments d’une colonne pivot sont nuls et les éventuelles lignes entièrement nulles se trouvent en bas. Les 1 directeurs sont les pivots.

La RREF révèle de manière cohérente la structure numérique d’une matrice. Les colonnes pivots indiquent où se trouvent les pivots ; les autres colonnes sont libres. Le rang correspond au nombre de pivots. Pour une matrice à n colonnes, la nullité indiquée ici vaut n moins le rang et correspond également au nombre de colonnes libres.

Cet outil numérote les colonnes à partir de 1. S’il indique les colonnes pivots 1 et 3, il s’agit de la première et de la troisième colonne de la matrice saisie.

Opérations sur les lignes affichées

Le calculateur utilise les trois types courants d’opérations élémentaires sur les lignes :

• Permuter deux lignes.
• Multiplier une ligne par un nombre non nul.
• Remplacer une ligne par elle-même moins un multiple d’une autre ligne.

Pour chaque colonne pivot, le calculateur choisit, parmi les lignes restantes, le candidat pivot de plus grande valeur absolue. Ce pivotage partiel sécurise le calcul numérique en évitant de diviser par une valeur plus petite lorsqu’une meilleure valeur est disponible. La ligne choisie est placée à la bonne position, son pivot est ramené à 1, puis les éléments situés au-dessus et au-dessous sont éliminés. Chaque état obtenu figure dans la liste des opérations élémentaires.

Plusieurs suites valides d’opérations peuvent présenter des étapes intermédiaires différentes. La forme échelonnée réduite par lignes finale reste la même, à de petits effets d’arithmétique en précision finie près.

Exemple numérique détaillé

Pour la matrice proposée par défaut

la forme échelonnée réduite par lignes est

Il existe deux pivots, dans les colonnes 1 et 3, donc le rang est égal à 2. La colonne 2 est libre et la nullité vaut 3 - 2 = 1. Le calculateur affiche la suite exacte d’opérations sur les lignes qu’il a utilisée pour atteindre ce résultat, et pas uniquement la matrice finale.

Rang, nullité, colonnes pivots et colonnes libres

Le rang compte les positions pivots dans la matrice réduite. Il décrit la dimension de l’espace engendré par les colonnes de la matrice et correspond également au nombre de lignes non nulles de la RREF.

La nullité est la dimension du noyau de la matrice. Pour une matrice m × n de rang r, le théorème du rang donne :

rang + nullité = nombre de colonnes, soit r + nullité = n.

Le calculateur détermine ces valeurs directement à partir de la réduction numérique. Une matrice peut ne comporter aucune colonne libre ; sa nullité est alors nulle. Une matrice rectangulaire large peut avoir plusieurs colonnes libres, tandis qu’une matrice avec des lignes dépendantes ou nulles peut avoir un rang inférieur à son nombre de lignes.

Règles de saisie et tolérance numérique

Saisissez une ligne de matrice par ligne de texte. Sur la page française, séparez les éléments avec des espaces, des points-virgules ou des barres verticales. Utilisez une virgule pour les décimales et aucun séparateur de milliers. Les lignes vides sont ignorées, mais toutes les lignes non vides doivent avoir la même longueur. Les nombres entiers, les décimaux et la notation scientifique comme 2,5e-3 sont acceptés. Chaque valeur doit être finie et comprise entre -1000000 et 1000000.

Le calculateur utilise l’arithmétique en virgule flottante. Pendant la réduction, les valeurs dont la valeur absolue est inférieure à 1e-10 sont considérées comme nulles. Cette tolérance évite que de minuscules résidus d’arrondi apparaissent comme de faux pivots. Pour une matrice proche de la singularité, vérifiez toutefois le résultat selon les exigences de précision de votre cours ou de votre application.

Limites de ce calculateur

Cet outil réduit des matrices numériques, ce n’est pas un système d’algèbre symbolique. Il n’accepte ni variables, ni fractions écrites sous forme d’expressions, ni radicaux, ni formules. Il ne calcule pas de déterminant ou d’inverse et ne produit pas de solution paramétrique. Il ne traduit pas non plus les lignes en équations et ne décide pas si un système décrit séparément est compatible.

Vous pouvez saisir une matrice augmentée numérique pour examiner sa réduction par lignes, mais l’outil traite toutes les colonnes comme les parties d’une seule matrice. Il ne reconnaît pas de séparation avant la colonne augmentée et n’interprète pas la dernière colonne comme des constantes. Utilisez la RREF et les informations sur les colonnes comme résultat matriciel, puis appliquez les conventions propres à votre problème d’algèbre linéaire.