Calculateur de probabilité binomiale
Étant donné n essais de Bernoulli indépendants avec une probabilité de succès p, la distribution binomiale vous indique à quelle fréquence vous verrez exactement k succès. Le calculateur gère la probabilité exacte P(X = k), la cumulative P(X ≤ k), la queue supérieure P(X ≥ k) et la moyenne/variance en une seule fois — le tout avec des combinaisons basées sur le log-gamma pour rester précis même à n = 10 000.
Comment calculer la probabilité binomiale
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1
Entrez n (nombre d'essais)
Doit être un entier non négatif. Valeurs typiques : 10 lancers de pièce, 100 visiteurs de test A/B, 10 000 échantillons de fabrication.
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2
Entrez p (probabilité de succès)
Une valeur entre 0 et 1. Pour une pièce équitable, p = 0,5 ; pour un taux de clic de 12 %, p = 0,12.
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3
Entrez k (nombre cible de succès)
Un entier de 0 à n.
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4
Lisez les probabilités
P(X = k) exacte, queue gauche P(X ≤ k), queue droite P(X ≥ k), plus moyenne = np et variance = np(1-p).
La formule
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)
Où C(n, k) est le coefficient binomial “n choisir k”. L’outil utilise l’arithmétique en espace log via la fonction gamma pour éviter le débordement lorsque n est grand.
Exemple travaillé : 10 lancers de pièce, exactement 7 faces
- n = 10, p = 0,5, k = 7
- C(10, 7) = 120
- P(X = 7) = 120 · 0,5^7 · 0,5^3 = 120 / 1024 ≈ 0,1172
Donc environ 11,7 % du temps, vous verrez exactement 7 faces en 10 lancers.
Quand la distribution binomiale s’applique
Les quatre hypothèses de Bernoulli doivent être respectées :
- Nombre fixe d’essais (n est décidé à l’avance).
- Chaque essai est indépendant des autres.
- Seulement deux résultats par essai (succès / échec).
- Probabilité de succès constante p à travers les essais.
Si une hypothèse est violée (tirages dépendants sans remplacement, p variable, plus de deux résultats), optez pour la distribution hypergéométrique, Poisson-binomial ou multinomiale à la place.
Moyenne, variance et approximation normale
- Moyenne : μ = np
- Variance : σ² = np(1-p)
- Écart type : σ = √(np(1-p))
Lorsque np ≥ 10 et n(1-p) ≥ 10, la binomiale est bien approximée par Normal(μ, σ²) avec une correction de continuité. Le calculateur signale cette condition afin que vous puissiez passer à un raccourci de score z lorsque cela est applicable.
Questions fréquentes
P(X = k) est la probabilité d’exactement k succès ; P(X ≤ k) est la probabilité cumulative d’au plus k. Pour 10 lancers d’une pièce équitable, P(X = 5) ≈ 0,246 mais P(X ≤ 5) ≈ 0,623.
Oui. Le calculateur renvoie P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). Pour “plus de k”, soustrayez un de plus : P(X > k) = P(X ≥ k+1).
Jusqu’à 100 000 est stable grâce au calcul log-gamma. Au-delà, utilisez l’approximation normale ou l’approximation de Poisson (valide lorsque p est petit et n est grand).
Alors vous avez besoin de la distribution Poisson-binomial, pas de la simple binomiale. Ce calculateur suppose un p constant unique à travers tous les n essais.
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