Calculateur d'intégrale triple
Les intégrales triples mesurent des quantités réparties dans une région tridimensionnelle : volume, masse issue d’une fonction de densité ou toute valeur cumulée ∭f(x,y,z) dV. Ce calculateur fournit dans le navigateur une approximation par la règle du point milieu sur des bornes rectangulaires numériques pour x, y et z ; il convient donc aux vérifications rapides, aux exemples de cours et aux régions en forme de pavé.
Comment approximer une intégrale triple
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1
Saisir f(x,y,z)
Utilisez une syntaxe de calcul comme x*y*z, x^2+y^2+z^2 ou sin(x)*cos(y).
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2
Définir des bornes numériques
Renseignez les valeurs minimale et maximale de x, y et z. L'outil évalue un pavé rectangulaire dans l'espace xyz.
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3
Choisir les pas par axe
Le curseur fixe n subdivisions pour chaque axe ; l'estimation utilise donc n³ points milieux.
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4
Calculer l'estimation au point milieu
Chaque petit pavé est échantillonné en son centre puis multiplié par l'élément de volume ΔxΔyΔz.
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5
Affiner et contrôler
Augmentez le nombre de pas et comparez avec des cas simples ou avec un résultat symbolique lorsqu'il existe.
Ce que le calculateur évalue réellement
| Entrée | Utilisation | Remarque pratique |
|---|---|---|
f(x,y,z) |
Valeur échantillonnée à chaque point milieu | Les fonctions régulières convergent plus prévisiblement que les pics abrupts ou les discontinuités |
x min/max, y min/max, z min/max |
Bornes rectangulaires numériques | Les bornes peuvent être négatives ; inverser minimum et maximum change le signe sur cet axe |
| Pas par axe | Nombre de découpages dans chaque dimension | Le calcul croît comme n³ : 60 pas représentent 216 000 évaluations de la fonction |
Il s’agit d’un calculateur numérique, pas d’un intégrateur symbolique. Il ne trouve pas de primitives et ne déduit pas de nouvelles bornes en coordonnées sphériques ou cylindriques. Si votre région est une boule, un cône ou un autre solide courbe, reformulez d’abord le problème en bornes et intégrande que cette méthode rectangulaire du point milieu peut échantillonner, ou utilisez une démarche symbolique pour intégrales triples.
Usages fréquents
- Vérifier un volume : utilisez
f(x,y,z) = 1sur un pavé pour confirmer son volume. - Estimer une masse : entrez une fonction de densité ρ(x,y,z) et intégrez-la sur des bornes numériques.
- Valeur moyenne : divisez l’estimation de l’intégrale par le volume du pavé.
- Vérification numérique : comparez une réponse obtenue à la main ou dans un manuel avec une estimation de calcul rapide.
Systèmes de coordonnées et éléments de volume
| Système de coordonnées | Élément de volume typique | À retenir ici |
|---|---|---|
| Cartésien | dx dy dz | Correspond directement aux bornes x/y/z de ce calculateur |
| Cylindrique | r dr dθ dz | Utile pour les régions à symétrie axiale, mais le facteur r doit faire partie de l’intégrande transformé |
| Sphérique | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Utile pour les boules et les coques, mais exige des bornes transformées et le facteur jacobien |
L’interface accepte uniquement des plages numériques pour x, y et z. Les changements de coordonnées restent utiles pour poser le problème, mais l’expression finale doit correspondre aux variables et aux limites que le calculateur échantillonne.
Vérification : cube unité
Pour le cube unité et f(x,y,z) = x*y*z :
∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0,125
C’est une bonne entrée de test, car les bornes sont rectangulaires et le résultat attendu est simple. Si votre résultat numérique est loin de 0,125, augmentez le nombre de pas ou vérifiez la syntaxe de l’expression.
Conseils de précision
La règle du point milieu s’améliore généralement lorsque vous augmentez le nombre de pas, mais elle reste une approximation. Les fonctions régulières sur un pavé rectangulaire donnent les meilleurs résultats. Les discontinuités, singularités, pics très étroits ou régions qui ne sont pas réellement en forme de pavé peuvent produire des valeurs trompeuses si le problème n’est pas reformulé avec soin.
Questions fréquentes
Le calculateur utilise une règle numérique du point milieu. Plus de pas signifie plus de points d’échantillonnage ; pour des intégrandes réguliers, l’estimation devrait généralement se stabiliser.
Non. Cette page approxime des intégrales définies sur des bornes numériques. Utilisez un calculateur symbolique d’intégrales si vous avez besoin de primitives ou d’étapes algébriques.
Pas directement. Les entrées sont des plages rectangulaires pour x, y et z. Pour une mise en place cylindrique ou sphérique, incluez le bon facteur jacobien et les bornes transformées dans une méthode qui accepte ces variables.
Non. Tous les calculs s’exécutent dans votre navigateur.
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