Calculateur d'intégrales triples

À quoi servent les trois systèmes de coordonnées

Utiliser le mauvais système transforme une intégrale triviale en un cauchemar. Une boule de rayon 1 intégrée en cartésien a des limites compliquées √(1 − x² − y²) ; en sphérique, c’est ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ, propre et séparable.

Problèmes courants

• Masse : ∭ρ(x,y,z) dV, où ρ est la densité.
• Centre de masse : ∭x ρ dV / masse totale, analogue pour y et z.
• Moment d’inertie : ∭r² ρ dV autour d’un axe choisi.
• Volume : ∭1 dV — l’intégrande est 1, réduisant au calcul du volume de la région.

Changer l’ordre d’intégration

Pour une région où la limite intérieure ne peut pas être exprimée simplement comme une fonction de la variable extérieure, changer l’ordre aide souvent. Esquissez la région, projetez sur le plan intérieur-extérieur que vous souhaitez, et redérivez les limites.

Exemple travaillé : volume d’une sphère

En coordonnées sphériques, la boule unité {x²+y²+z² ≤ 1} :

V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
  = ∫₀²π (2/3) dθ
  = 4π/3

Le célèbre V = (4/3)πr³ se dégage en trois étapes claires — en cartésien, la même intégrale prend plusieurs pages.

Solution numérique

Certaines intégrales n’ont pas d’antidérivée sous forme fermée. Lorsque l’intégration symbolique échoue, le calculateur passe à la quadrature numérique, retournant une valeur approximative avec une estimation d’erreur.